바젤문제(未完)

바젤문제는 다음을 의미한다. 

\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \frac {{\pi}^2}{6}
베르누이가 이 급수가 수렴함을 밝히고, 오일러는 그 수렴값을 구체적으로 구하였다.

그러면 이제 이 급수가 수렴함을 먼저 보이도록 하자. 증명에는 비교 판정법이 쓰인다.(혹은 적분판정법으로도 가능하다.)

\forall k \ge 1, \qquad \frac{1}{k^2} \le \frac{1}{k(k-1)}
이 식을 이용하면
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \le 1 + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k(k-1)} = 2이므로 수렴한다.

이제 이 급수가 구체적으로 무슨 값으로 수렴하는지 알아보자.