수학 문제

먼저 다음의 보조정리를 증명하자. 임의의 양수 t에 대해서 \log(1+t)+t\log(1+\frac{1}{t})\le(\log2)(1+t)이다. 이 정리의 증명은 f(t)=\log(1+t)+t\log(1+\frac{1}{t})-\log2(1+t)라 놓고 f'(t)를 구하면 f'(t)=\frac{1}{1+t}+\log(1+\frac{1}{t})-\frac{1}{1+t}-\log2=\log(1+\frac{1}{t})-\log2이므로 f(t)는 t=1에서 극댓값을 가진다. 따라서 f(t)\le f(1)=0이므로 \log(1+t)+t\log(1+\frac{1}{t})\le(\log2)(1+t)가 성립한다.

이제 본 내용을 증명하도록 하자. |g(x+y)-g(x)-g(y)|=|x(f(x+y)-f(x))+y(f(x+y)-f(y))|\le|x(f(x+y)-f(x))|+|y(f(x+y)-f(y))|
그리고 f(x)의 정의에 의해서 |x(f(x+y)-f(x))|+|y(f(x+y)-f(y))|\le x(1+|\log \frac{x+y}{x}|)+y(1+|\log \frac{x+y}{y}|)=(x+y)+x\log\frac{x+y}{x}+y\log\frac{x+y}{y} 가 성립한다. 그런데 여기서 x\log\frac{x+y}{x}+y\log\frac{x+y}{y}를 잘 살펴보자. 여기서 y=tx꼴로 표현된다고 가정하고 이 식에 대입하면 x(\log(1+t)+t\log(1+\frac{1}{t})가 되고 t > 0이기 때문에 앞의 정리에 의해서 x(\log(1+t)+t\log(1+\frac{1}{t}))\le x(\log2)(1+t)가 되고 다시 t=\frac{y}{x}를 넣고 정리해주면 x\log\frac{x+y}{x}+y\log\frac{x+y}{y}\le (\log2)(x+y)가 되고 그러므로 |f(x+y)-f(x)-f(y)|\le (x+y)+(\log2)(x+y)=(1+\log2)(x+y)가 성립한다. ■