수학 문제

먼저 다음의 보조정리를 증명하자. 임의의 양수 t에 대해서 \log(1+t)+t\log(1+\frac{1}{t})\le(\log2)(1+t)이다. 이 정리의 증명은 f(t)=\log(1+t)+t\log(1+\frac{1}{t})-\log2(1+t)라 놓고 f'(t)를 구하면 f'(t)=\frac{1}{1+t}+\log(1+\frac{1}{t})-\frac{1}{1+t}-\log2=\log(1+\frac{1}{t})-\log2이므로 f(t)는 t=1에서 극댓값을 가진다. 따라서 f(t)\le f(1)=0이므로 \log(1+t)+t\log(1+\frac{1}{t})\le(\log2)(1+t)가 성립한다.

이제 본 내용을 증명하도록 하자. |g(x+y)-g(x)-g(y)|=|x(f(x+y)-f(x))+y(f(x+y)-f(y))|\le|x(f(x+y)-f(x))|+|y(f(x+y)-f(y))|
그리고 f(x)의 정의에 의해서 |x(f(x+y)-f(x))|+|y(f(x+y)-f(y))|\le x(1+|\log \frac{x+y}{x}|)+y(1+|\log \frac{x+y}{y}|)=(x+y)+x\log\frac{x+y}{x}+y\log\frac{x+y}{y} 가 성립한다. 그런데 여기서 x\log\frac{x+y}{x}+y\log\frac{x+y}{y}를 잘 살펴보자. 여기서 y=tx꼴로 표현된다고 가정하고 이 식에 대입하면 x(\log(1+t)+t\log(1+\frac{1}{t})가 되고 t > 0이기 때문에 앞의 정리에 의해서 x(\log(1+t)+t\log(1+\frac{1}{t}))\le x(\log2)(1+t)가 되고 다시 t=\frac{y}{x}를 넣고 정리해주면 x\log\frac{x+y}{x}+y\log\frac{x+y}{y}\le (\log2)(x+y)가 되고 그러므로 |f(x+y)-f(x)-f(y)|\le (x+y)+(\log2)(x+y)=(1+\log2)(x+y)가 성립한다. ■

단위 구면상의 점들을 구좌표계로 나타내면 (1, \varphi, \theta)\quad(0\le \varphi \le \pi, 0 \le \theta \le 2\pi)로 나타내어진다. 이 구면 좌표계를 잡을 때는 \theta값이 \theta_0로 서로 일치하도록 적절하게 축을 회전시켜서 만들어준다. 그래서 이 축에서 점 A와 점 B를 나타내면 A(1, \varphi_0, \theta_0),~B(1, \varphi_1,\theta_0)로 표현할 수 있다. 그리고 점 A, B를 지나는 구면곡선의 식을 P(t):=S(\varphi(t), \theta(t))~(0\le t\le1)라고 할 수 있다. (반지름은 시간에 따라 변하지 않기 때문에 상수로 생각가능하다.) 그러면 \varphi(0)=\varphi_0,~\varphi(1)=\varphi_1, \theta(0)=\tehta(1)=\theta_0이고 이 P(t)의 속도벡터를 구하면 \dot{P}=\dot{\varphi}(\cos\varphi\cos\theta,\cos\varphi\sin\theta,-\sin\theta)+\dot{\theta}\sin\varphi(-\sin\theta,\cos\theta,0)이다.(단 여기서 \dot{f}:=\frac{df}{dt}를 의미한다.) 따라서 |\dot{P}|=\sqrt{\dot{\varphi}^2+\dot{\theta}^2\sin^2\varphi}\ge\dot{\varphi}가 성립하고 length\{P(t)\}=\int_{0}^{1}{|\dot{P}|dt}\ge\int_{0}^{1}{\dot{\varphi}}dt=\varphi(1)-\varphi(0)=\varphi_1-\varphi_2가 성립한다. 여기서 등호조건은 \dot{\theta}=0인 것이므로 \theta가 상수라는 결론을 내릴수 있고 이는 구면 좌표계에서 봤을 때 그 두 점을 지나는 대원호가 최단 거리라는 결론을 얻을 수 있다.

그러므로 평면의 방정식은 구의 중심을 지나야 하기 때문에 즉 \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}가 이루는 평면이라는 사실을 알 수 있다. 그러므로 이 평면의 법선벡터는 \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=(y_1z_2-y_2z_1, x_2z_1-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1)가 되고 따라서 평면의 방정식은 (y_1z_2-y_2z_1)x+(x_2z_1-x_1z_2)y+(x_1y_2-x_2y_1)z=0이 된다.

이 때의 최소길이를 구하자. 그 평면으로 자른 단면을 생각하면 반지름이 1인 원이 되므로 A와 B를 잇는 선은 호라고 할 수 있다. 이제 그 중심각 \alpha의 크기를 구해보면 \cos\alpha=\frac{\overrightarrow{OA}\bullet\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2이므로 \alpha=\cos^{-1}(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)이 된다. 따라서 최단거리는 r\alpha=1\cdot\cos^{-1}(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)=\cos^{-1}(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)이다. ■

f_i(x)에서 x에 a_i를 제외한 f(x)의 근을 넣으면 f_i(x)의 정의식에 의해 항상 0이 된다. 따라서 이 성질을 이용해 g(x)에 a_i~(i=1, 2, \cdots, n)을 대입하자. 그러면 g(a_i)=A_if_i(a_i)라는 결과를 얻을 수 있다. 조건에서 a_i가 모두 다른 실수라고 했으므로 f_i(a_i)는 0이 될 수 없다. 따라서 양변을 f_i(a_i)로 나누어주면 A_i=\frac{g(a_i)}{f_i(a_i)}라는 결과를 얻을 수 있다. 따라서 저 식을 만족하도록 A_i~(i=1, 2, \cdots, n)을 항상 잡을 수 있다.■

수열을 하나 정의 하자. 즉  a_n을 볼록n각형에서 내부에서 서로 만나지 않는 대각선을 그어 삼각형으로 분할하는 방법의 수라고 하자. 그러면 a_3=1, a_4=2라는 결론을 쉽게 얻을 수 있다. 이제 점화식을 세워보자. a_n = a_{n-1}+a_{n-2} \cdot a_3 + a_{n-3} \cdot a_4 + \cdots + a_{3} \cdots a_{n-2} + a_{n-1}에 해당한다. 이는 한 변을 고정시키고 그 변을 포함하는 삼각형을 결정하는 나머지 한 점의 위치에 따라서 각각의 경우를 계산해서 더해주면 된다. 그래서 이 식을 이용해서 계산하면, a_5=a_4+a_3 \cdot a_3 + a_4 = 2 + 1 + 2=5, a_6 = a_5+a_4 \cdot a_3 + a_3 \cdot a_4 + a_5 = 5+ 2 + 2 + 5=14, a_7 = a_6 + a_5 \cdot a_3 + a_4 \cdot a_4 + a_3 \cdot a_5 + a_6 = 14 + 5 + 4 + 5 + 14 = 42, a_8 = a_7+a_6 \cdot a_3 + a_5 \cdot a_4 + a_4 \cdot a_5 + a_3 \cdot a_6 + a_7 = 42 + 14 + 10 + 10 + 14 + 42 = 132이므로 임의의 볼록 팔각형을 내부에서 서로 만나지 않는 대각선을 그어 삼각형으로 분할하는 방법의 수는 132개라는 결론을 얻을 수 있다. ■

앞에서 정의한 이 수열은 아래 첨자를 바꾸고, 또 초기 조건만 부여해준다면 카탈란 수열이라는 수열과 같게 된다. 이 수열의 일반항은 \frac{1}{n+1} \left( \begin{matrix} 2n \\ n \end{matrix} \right)와 같다는 것을 얻을 수 있다. 이와 관련해서는 카탈란 수열과 관련해서 포스팅을 하도록 하겠다. 그래서 이를 이용하면 볼록n각형을 내부에서 서로 만나지 않는 대각선을 그어 삼각형으로 분할하는 방법의 수는 \frac{(2(n-2))!}{(n-1)! \cdot (n-2)!}임을 알 수 있고 우리가 얻고 싶어하는 결과인 n=8을 대입하면 \frac{12!}{7! \cdot 6!} = 132가 나와서 앞에서 한 결과와 같게 된다.

일단 주어진 식의 양변을 y에 대해서 미분하자. 그러면 2y f(y^2)-f(y)=f(y)이고 양변에 y를 곱하고 정리해주면 y^2f(y^2)=yf(y)가 된다. 여기서 g(y)=yf(y)로 치환하자. 그러면 앞의 식에 의해서 g(y^2)=g(y)가 되고 이를 확장하면 g(y^{2n})=g(y) \;\; (n \in \mathbb{N})이 성립한다. 이 식을 통해 g(y^{\frac{1}{2n}})=g(y)라는 결론도 쉽게 얻을 수 있다.

g(y^{\frac{1}{2n}})=g(y)임을 알았으므로 이를 이용하면 y > 0에서 \lim_{n \to \infty}g(y) = \lim_{n \to \infty}g(y^{\frac{1}{2n}})=g(1)이므로 주어진 구간에서 g(y)=g(1)이다.

위 결과를 종합하면 g(y)=g(1)라는 결론을 얻을 수 있다. 그래서 이제 g(y)를 다시 f(y)로 바꿔주게 되면 yf(y)=f(1), f(y)=\frac{f(1)}{y} (y > 0 이라 했기 떄문)

따라서 f(x)=\frac{a}{x} (a \in \mathbb{R})이다. ■

일단 먼저 z축부터 결정하도록 하자.
주어진 n개의 점을 모두 이어서 각각 벡터로 만들자.(예를 들어 점 A, B가 있으면 \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}를 만든다. 그러면 그 벡터 중에는 서로 평행인 것도 있고, 수직인 것도 존재할 것이다.
여기서 벡터의 개수는 n(n-1)개가 존재한다. 즉 유한 개에 해당되므로 이 벡터들과 평행도 아니고 수직도 아닌 벡터를 하나 임의로 잡을 수 있다. 그리고 이 잡은 벡터를 z축으로 잡으면 된다. 그러면 서로 다른 z값을 가지게 된다.

이제 이 z축을 법선벡터로 하는 평면을 결정할 수 있다. 그리고 그 평면이 xy평면이 된다. 이제 앞에서 점을 이어 만든 벡터를 이 평면에 정사영 시키도록 하자. 그러면 앞에서 한 논리를 그대로 적용하면 이 정사영시킨 벡터와 평행도 아니고 수직도 아닌 평면 xy에 포함되는 벡터를 잡을 수 있다. 그래서 그 벡터를 x축으로 잡고 y축은 z축과 x축을 서로 외적한 방향으로 결정하면 된다. 앞에서 x축을 결정하는 방법에 의해서 각각의 점들은 x좌표와 y좌표가 다르다.

따라서 위 명제를 만족하도록 좌표축을 설정할 수 있다. ■