수학 문제

문제

5. 반경이 1인 구면 x^2+y^2+z^2=1 위에 두 점 A(x_1, y_1, z_1)와 B(x_2, y_2, z_2)를 잡자. A와 B를 통과하는 임의의 평면은 주어진 구와 만나 곡선을 이루게 되는데 이 곡선의 A와 B 사이의 거리가 최소가 되게 하는 평면의 방정식과 그 때의 최소길이를 구하고 답의 타당성을 증명하지오.

제 5회(1990년) 포항공대 수학경시대회 - 문제, 풀이(1번, 2번, 3번, 4번, 5번, 6번)

제 7회(1992년) 포항공대 수학경시대회 - 문제, 풀이

제 8회(1993년) 포항공대 수학경시대회 - 문제, 풀이

제 9회(1994년) 포항공대 수학경시대회 - 문제, 풀이

제 10회(1995년) 포항공대 수학경시대회 - 문제, 풀이

제 11회(1996년) 포항공대 수학경시대회 - 문제, 풀이

제 13회(1998년) 포항공대 수학경시대회 - 문제, 풀이

제 16회(2001년) 포항공대 수학경시대회 - 문제, 풀이

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제 21회(2006년) 포항공대 수학경시대회 - 문제, 풀이

제 22회(2007년) 포항공대 수학경시대회 - 문제, 풀이

문제

3. 임의의 볼록 팔각형을 내부에서 서로 만나지 않는 대각선을 그어 삼각형으로 분할하는 방법의 수를 구하시오.

문제

2. 구간 (0, \infty)에서 연속이며 모든 y>0에 대해서 \int_{y}^{y^2}f(x) dx = \int_{1}^{y}f(x)dx 를 만족하는 실함수 f(x)를 모두 구하여라.

문제

1. 3차원 공간상에 n개의 서로 다른 점 P_1, P_2, \cdots, P_n이 있을 때, 직교좌표축 xyz를 알맞게 잡으면 임의의 두 점 P_i, P_j의 이 좌표축에 대한 x좌표 x_i, y_j 와 y좌표 y_i, y_j와 z좌표 z_i, z_j가 모두 틀림을 보여라.

1. 공간 상에 길이가 1이고 서로 수직인 두 벡터 \vec{u} = (a, u_1, u_2), \vec{v} = (b, v_1, v_2)가 있을 필요충분조건은 a^2+b^2 \le 1임을 보여라.

2. f''(x) \ge 0인 함수 y=f(x)와 직선 y=l(x)가 a < b 인 두 실수 a, b에 대하여 f(a)=l(a), f(b)=l(b)를 만족한다면 구간 [a, b]에서 항상 l(x) \ge f(x)임을 보여라.

3. A와 B가 가위바위보를 하여 높은 계단을 먼저 올라가는시합을 한다. 보로 이기면 5칸을, 가위로 이기면 2칸을, 바위로 이기면 1칸을 오르고, 비기거나 지면 제자리에 서 있는다. B는 A가 가위는 \frac{1}{3}, 바위는 \frac{1}{6}, 보는 \frac{1}{2}의 빈도로 내는 것을 안다. B가 선택할 최선의 방법을 구하여라.

4. X=\{ 1, 2, \cdots, 8\}이라 할 떄, f : X \rightarrow X 중 f(f(f(x)))=x를 만족하는 함수 f의 개수를 구하여라.

5. |z|=1인 어떠한 복소수 z를 대입하여도 부등식 |1+z|^3+A|1-z|^2 \le 8을 만족시키는 실수 A 중에서 최대인 것을 구하여라.

6. 여러 번 미준 가능한 함수 y=f(x)가 조건 f(0)=f'(0)=0와 f''(0)=3을 만족한다. 충분히 작은 양수 t에 대하여 좌표 평면 위의 세 점 (t, f(t)), (0, 0), (-t, f(-t))를 지자는 원의 반지름을 R(t)라 할 떄, \lim _{t \to 0} R(t)를 구하여라.

7. 한 변의 길이가 1인 정사면체의 꼬인 위치에 있는 두 모서리의 중점 A, B를 지나는 직선 l이 있어 직선 l을 축으로 정사면체를 회전시켜 생긴 입체 u의 부피를 구하여라.

문제힌트

1.  A회사에서 생산되는 모든 과자 봉지에는 n종류의 장난감 중 하나가 임의로 선택되어 들어 있다. 모든 종류의 장난감을 다 모으려면 과자 봉지를 평균적으로 몇 개 사야 하겠는가?

2. 좌표공간에 길이가 \sqrt 2이고 양 끝이 (0, 0, 1)과 (1, 0, 0)에 위치한 막대가 있다. 이 막대의 한 끝이 점 (0, 0, 1)과 점 (0, 1, 1)을 잇는 선분 위에 있고, 다른 한 끝이 점 (1, 0, 0)과 점 (0, 0, 0)을 잇는 선분 위에 있도록 하며 움직인다. 막대의 자취와 xz평면 및 yz평면으로 둘러싸인 공간도형의 부피를 구하여라.

3. A=\{ (x, y) | y \ge |x|^p \}, B = \{ (x, y) | x^2+(y-r)^2 \le r^2 \} 1 < p < 2라 하자. 양수 r의 어떤 값에 대하여도 B가 A의 부분집합이 될 수 없음을 보여라.

4. 임의의 자연수 n에 대하여

(1) A_n = {}_n C_0 + {}_n C _0 + {}_n C _4 + \cdots, B_n = {}_n C _1 + {}_n C_3 + {}_n C_5 + \cdots이라 할 때, A_n=B_n임을 보여라. (단, r>n일 때, {}_n C_r = 0으로 정의한다.)

(2) C_n = {}_nC_0+{}_nC_3+{}_nC6+\cdots, D_n={}_nC_1+{}_nC_4+{}_nC_7 + \cdots, E_n = {}_nC_2+{}_nC_5+{}_nC_8+\cdots이라 할 떄, C_n, D_n, E_n 중 둘은 값이 같고 나머지 하나는 이들과 차이가 1임을 보여라. (힌트 : x^3=1의 한 허근을 이용할 수 있다.

5. 평면 상의 점 P(x, y) 중 x, y가 모두 정수인 점을 격자점이라 한다.

(1) 0 \le y \le 100이라 하자. 격자점 P(100, y)와 원점 O를 잇는 선분이 양 끝점 외에 다른 격자점을 포함하지 않게 하는 y값의 개수를 구하여라.

(2) 각 꼭짓점에 구멍이 나있고 각 변의 길이가 1인 정사각형 모양의 당구대가 있다. 당구공이 움직이다 꼭짓점에 닿으면 구멍을 통하여 빠져 나온다 하자. 점 O에서 당구공을 칠 때, 공이 움직인 거리가 7이하가 되는 경로는 몇 가지 있는가? (단, 당구공의 크기와 구멍의 크기는 무관하다.)

6. 모서리의 길이가 1인 정육면체 속에 직원기둥을 정육면체의 각 면과 점으로 만나도록 넣는다.

(1) 직원기둥의 부피의 최댓값을 구하여라.

(2) 부피가 최대인 직원기둥을 정육면체의 밑면에 투영하였을 때, 정사영의 넓이를 구하여라.

문제힌트

1. \sqrt 2는 무리수이다. \alpha = \sqrt 2 + \sqrt[3] 2 + \sqrt[4] 2, \sqrt[4] 8, \beta = \sqrt[3] 2 + \sqrt[5]2+\sqrt[4]8, \gamma = \sqrt 2 + \sqrt[3]2 + 2 \sqrt[5] 2라 할 때, \alpha, \beta, \gamma 중 적어도 1개는 무리수임을 보여라.

2.  두 번 미분 가능한 함수 f가 f(0) = 0이고 모든 실수 x에 대하여 |f''(x)| \le 1이라 하자.

(1) 임의의 양수 a에 대하여 \frac{1}{a} \int _{0}^{1} |\frac{f(ax)}{a} - f'(0)x|dx \le \frac{1}{3}임을 보여라.

(2) 임의의 양수 a에 대하여 \frac{\log (a+1)}{a^3} - \frac{1}{2a} \le \frac{1}{3}임을 보여라. (단, \log는 자연 대수이다.)

3.  무한급수 \sum _{n=0} ^{\infty} \log ( 1+ \frac{1}{2^{4^n}} + \frac{1}{2^{2 \cdot 4^n}})의 값을 구하여라. (단, \log는 자연 대수이다.)

4. x절편과 y절편의 합이 1이 되는 직선은 (1-t)x+ty=t(1-t)로 표현될 수 잇다. t가 0에서 1까지 변할 때 만들어지는 모든 직선들의 자취 중 제 1사분면 부분 A의 면적을 구하여라.

5. 중심이 원점에 있는 공의 표면에서 P, Q, R을 임의로 잡을 때 세 벡터 \overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{OR}이 만드는 세 사잇각이 모두 예각일 확률을 구하여라.

6. p_n을 n번째 소수라 하고,
a_n = (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots ) \times ( 1+ \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots ) \times \cdots \times (1 + \frac{1}{p_n} + \frac{1}{p_n ^2} + \frac{1}{p_n ^ 3} + \cdots )라고 하자.

(1) \sum _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{n}이 발산함을 이용하여 수열 \{ a_n \}은 발산함을 보여라.

(2)  \log n - \log (n-1) \le \frac{2}{n}을 이용하여 \sum _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{p_n}도 발산함을 보여라. (단, \log는 자연 대수이다.)

문제 힌트

1. 0이 아닌 다항식 p(x)들 중에서 임의의 실수 x에 대하여 p(\sin x)=\sin(p(x))을 만족하는 p(x)를 전부 찾고 그 이유를 설명하여라.

2. 자연수 n에 대하여 a_n을 1 또는 2의 합으로 표시할 수 있는 방법의 수로 정의한다. ( 예 : 3 = 1+1+1 = 2 + 1 = 1 + 2 이므로 a_3=3). 무한 급수 \sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+2}}의 값을 구하여라.

3. 0이 아닌 실수 x에 대하여 극한 \lim_{n \to \infty} (\frac{(1+\cos x + i \sin x)}{2} \frac{(1+\cos \frac{x}{2} + i \sin \frac{x}{2} )}{2} \cdots \frac{(1+\cos \frac{x}{2^n} + i \sin \frac{x}{2^n})}{2})을 구하여라.

4. 서로 다른 양수 a, b에 대하여 타원 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1에 내접하는 삼각형 중 밑변이 x축과 평행한 삼각형 중에 최대 면적을 갖는 삼각형이 있음을 보여라. 그리고 그 최대 면적을 구하여라.

5. 임의의 자연수 1 \le i \le n에 대하여 T_i는 n개의 정수 성분을 갖는 벡터를 n개의 정수 성분을 갖는 벡터로 바꾸는 일차변환으로
T_i = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c} x_1 \\ \vdots \\ x_{i-1} \\ -x_i \\ x_{i+1} + x_i \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] \qquad (1 < i < n), 그리고 T_1 \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -x_1 \\ x_2 + x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right], T_n \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1} + x_n \\ -x_n \end{array} \right]으로 정의된다.

(1)  벡터 \vec{x}의 첫 번재 성분 x_1이 음의 정수라 하자. 벡터 T_MT_{M-1} \cdots T_1(\vec{x})의 음의 정수가 아닌 성분의 개수가 벡터 \vec{x}의 음의 정수가 아닌 성분의 개수보다 하나 더 많게 되도록 하는 수 M을 구하고 그 이유를 설명하여라.

(2) n개의 정수 성분으로 된 임의의 벡터 \vec{x}에 유한번의 일차변환 T_i들을 적용시켜서 음의 정수 성부을 갖지 않는 벡터로 바꿀 수 있음을 증명하여라.

6. 1, 2, 4, 8, 19의 다섯 숫자를 써서 2 \times 2 행렬을 만들 때 같은 숫자를 중복하여 쓸 수 있다고 하자. 이렇게 만든 행렬이 역행렬을 가질 확률을 구하여라.

문제 힌트

1. 유리수 전체의 집합 위에서 정의되고 유리수 값을 갖는 함수 f가 있어서 다음의 두 식이 임의의 유리수 p, q에 대하여 f(1)=2, f(pq)=f(p)f(q)-f(p+q)+1을 항상 만족한다고 한다. 이러한 함수 f를 모두 구하시오.

2. 1에서 n까지의 수를 순서있게 나열하는 모든 경우의 집합을 S_n=\{(a_1, a_2, \cdots, a_n)|a_i \in \{1, \cdots, n \}, i = 1, \cdots, n, a_i \neq a_j (i \neq j) \}이라 표현하자. 이 때 S_n의 임의의 원소 (a_1, a_2, \cdots, a_n)을 다음의 (n-1)가지 방법 (a_2, a_1, a_3, \cdots, a_n), (a_3, a_2, a_1, a_4, \cdots, a_n), (a_4, a_3, a_2, a_1, a_5, \cdots, a_n), \cdots, (a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1)만을 사용하여 바꾸기로 한다. L(n)을 (1, 2, \cdots, n)으로부터 S_n의 어떠한 원소도 L(n)번 이하의 바꿈으로 (1, 2, 3, \cdots, n)으로부터 얻을 수가 있다.

(1) L(4)=4임을 보이시오.

(2) n \ge 4일 때 L(n) \le 2n-4임을 보이시오.

3. \alpha, \beta, \gamma, \delta를 방정식 x^4+ax+b=0 \quad (b \neq 0)의 네 근이라 할 때, \frac{1}{{\alpha}^4}, \frac{1}{{\beta}^4}, \frac{1}{{\gamma}^4}, \frac{1}{{\delta}^4}의 네 근을 갖는 4차 방정식을 구하시오.

4. (1) \sin을 k번 합성한 함수 \sin_k. 즉, \sin_k(x) = \underbrace {\sin \circ \cdots \circ \sin (x)}_{k}라고 정의할 때에 극한값 \lim_{k \to \infty}{\frac{\sin_k(2)}{\sin_k(1)}}을 구하시오.

(2) 극한 \lim_{h \to 0}{\frac{1}{h} \int_{\sin x}^{\sin (x+h)} e^{\cos ((x+h)t)} dt를 구하시오.

5.  a < b 라 하고 임의의 연속인 두 함수 f_1, f_2에 대하여

\int_{a}^{b} |f_1(x) + f_2(x) - \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} (f_1(y)+f_2(y))dy| dx \le 2 [\int_{a}^{b} |f_1(x)-1|dx + \int_{a}^{b}|f_2(x)-2|dx] 

임을 보이시오.

6. 순위가 정해진 2n (n \ge 2)명의 탁구 선수가 2팀으로 나뉘어져 있다. A팀은 홀수 순위, B팀은 짝수 순위의 선수들로 구성되어 있다. 두 팀이 임의의 짝을 지어 n번의 단식 경기를 했을 때 A팀이 단 한 경기만 지고 나머지 n-1 경기를 이길 확률을 구하시오. 단, 각 단식 경기의 결과는 순위에 의해 결정된다. (예 : 순위 3인 선수는 순위 4인 선수를 이긴다.)

문제 힌트