1. 3차원 공간상에 n개의 서로 다른 점P_1, P_2, \cdots, P_n이 있을 때, 직교좌표축 xyz를 알맞게 잡으면 임의의 두 점 P_i, P_j의 이 좌표축에 대한 x좌표x_i, y_j와 y좌표y_i, y_j와 z좌표 z_i, z_j가 모두 틀림을 보여라.
일단 먼저 z축부터 결정하도록 하자. 주어진 n개의 점을 모두 이어서 각각 벡터로 만들자.(예를 들어 점 A, B가 있으면 \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}를 만든다. 그러면 그 벡터 중에는 서로 평행인 것도 있고, 수직인 것도 존재할 것이다. 여기서 벡터의 개수는 n(n-1)개가 존재한다. 즉 유한 개에 해당되므로 이 벡터들과 평행도 아니고 수직도 아닌 벡터를 하나 임의로 잡을 수 있다. 그리고 이 잡은 벡터를 z축으로 잡으면 된다. 그러면 서로 다른 z값을 가지게 된다.
이제 이 z축을 법선벡터로 하는 평면을 결정할 수 있다. 그리고 그 평면이 xy평면이 된다. 이제 앞에서 점을 이어 만든 벡터를 이 평면에 정사영 시키도록 하자. 그러면 앞에서 한 논리를 그대로 적용하면 이 정사영시킨 벡터와 평행도 아니고 수직도 아닌 평면 xy에 포함되는 벡터를 잡을 수 있다. 그래서 그 벡터를 x축으로 잡고 y축은 z축과 x축을 서로 외적한 방향으로 결정하면 된다. 앞에서 x축을 결정하는 방법에 의해서 각각의 점들은 x좌표와 y좌표가 다르다.
