1. \sqrt 2는 무리수이다. \alpha = \sqrt 2 + \sqrt[3] 2 + \sqrt[4] 2, \sqrt[4] 8, \beta = \sqrt[3] 2 + \sqrt[5]2+\sqrt[4]8, \gamma = \sqrt 2 + \sqrt[3]2 + 2 \sqrt[5] 2라 할 때, \alpha, \beta, \gamma 중 적어도 1개는 무리수임을 보여라.
2. 두 번 미분 가능한 함수 f가 f(0) = 0이고 모든 실수 x에 대하여 |f''(x)| \le 1이라 하자.
(1) 임의의 양수 a에 대하여 \frac{1}{a} \int _{0}^{1} |\frac{f(ax)}{a} - f'(0)x|dx \le \frac{1}{3}임을 보여라.
(2) 임의의 양수 a에 대하여 \frac{\log (a+1)}{a^3} - \frac{1}{2a} \le \frac{1}{3}임을 보여라. (단, \log는 자연 대수이다.)
3. 무한급수 \sum _{n=0} ^{\infty} \log ( 1+ \frac{1}{2^{4^n}} + \frac{1}{2^{2 \cdot 4^n}})의 값을 구하여라. (단, \log는 자연 대수이다.)
4. x절편과 y절편의 합이 1이 되는 직선은 (1-t)x+ty=t(1-t)로 표현될 수 잇다. t가 0에서 1까지 변할 때 만들어지는 모든 직선들의 자취 중 제 1사분면 부분 A의 면적을 구하여라.
5. 중심이 원점에 있는 공의 표면에서 P, Q, R을 임의로 잡을 때 세 벡터 \overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{OR}이 만드는 세 사잇각이 모두 예각일 확률을 구하여라.
6. p_n을 n번째 소수라 하고,
a_n = (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots ) \times ( 1+ \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots ) \times \cdots \times (1 + \frac{1}{p_n} + \frac{1}{p_n ^2} + \frac{1}{p_n ^ 3} + \cdots )라고 하자.
(1) \sum _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{n}이 발산함을 이용하여 수열 \{ a_n \}은 발산함을 보여라.
(2) \log n - \log (n-1) \le \frac{2}{n}을 이용하여 \sum _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{p_n}도 발산함을 보여라. (단, \log는 자연 대수이다.)
문제 힌트
적어도라고 하면 뭐가 떠오르는가?? 바로 귀류법이다!
(1)번은 평균값 정리를 이용하고 싶게 생기지 않았는가??
(2)번은 (1)을 이용하면 쉽게 될 것 같다.
항이 서로 상쇄 될 수 있게 식을 잘 변형해보는 건 어떨까?
x값이 정해져 있을 떄 자취 중에서 y값이 최대가 되는 점을 찾아서 적분을 하자.
면적을 이용해 정의한 확률을 생각해보자.
(1)번은 한 번 a_{n}의 일부를 전개해서 어떤 모양인지 알아보자.
(2)번은 (1)의 결과를 이용하면 쉽게 할 수 있다.
